Actualiteiten

	0
	1
	1
	1
	1

Risk & Value Management:

Waardering van garanties

Inleiding
Met de inwerkingtreding van de Wet op het financieel toezicht (Wft) in januari 2007 verandert er veel ten aanzien van de toets van de voorzieningen. Dit is reeds beschreven in het I&FS Bulletin van januari jl. Eén van de belangrijkste veranderingen is dat de actuele waarde van een verzekeringsportefeuille moet worden vastgesteld en gerapporteerd. Dit betekent ondermeer dat ook van garanties, die al dan niet impliciet in de verzekeringsovereenkomst zijn opgenomen, de actuele waarde moet worden bepaald.

Enkele voorbeelden van dergelijke embedded options zijn:

• het eventuele recht van de verzekerde om een nieuw of aanvullend contract tegen vooraf bepaalde voorwaarden af te sluiten, zoals het verhogen van risicokapitalen bij AOV zonder extra medische keuring;
• het eenzijdig opzeggen van het verzekeringscontract door de verzekerde;
• het geven van een minimum rendementsgarantie gecombineerd met winstdeling.

De laatste optie kan bijzonder waardevol zijn en komt in een zeer groot aantal verschijningsvormen voor. In het vervolg van dit artikel zal nader worden ingegaan op het bepalen van de waarde van dit soort garanties.

Financiële opties kunnen in het algemeen op verschillende manieren worden gewaardeerd. Een eerste mogelijkheid is waardering op basis van replicatie waarbij de pay-off van de optie gerepliceerd wordt: de cash flow van de optie en de replicerende portefeuille zijn vrijwel hetzelfde onder ‘alle’ mogelijke omstandigheden. Om arbitrage te voorkomen dient de prijs van de optie gelijk te zijn aan de prijs van de replicerende portefeuille.

Een tweede manier van waardering is met behulp van closed form oplossingen waarbij de waarde van een derivaat analytisch wordt bepaald. De bekendste closed form is wellicht de Black & Scholes formule. Aangezien een groot aantal veronderstellingen ten grondslag liggen aan closed form oplossingen dient waardering op basis van dit soort formules met zorgvuldigheid te worden toegepast. Het grote voordeel van deze methode is vervolgens wel de praktische toepassing en vooral de relatieve eenvoud en snelheid waarmee de berekeningen kunnen worden uitgevoerd.

Een derde manier waarmee opties kunnen worden gewaardeerd, is met behulp van zogenaamde numerieke methodes, zoals met behulp van het binomiale model (beslisbomen). Ook Monte Carlo simulaties (stochastische berekeningen) behoren hiertoe.

Uitgewerkte voorbeelden
We beschrijven hieronder twee producten die volgens twee methodes zijn uitgewerkt. De producten betreffen een traditioneel product met winstdeling op basis van u-rendement en een unit-linked product met eindwaarde garantie. De methodes zijn closed form en simulatie.

Voor beide producten zijn individuele polissen bekeken omdat dat direct volgt uit een randvoorwaarde die de Wft stelt. De Wft schrijft namelijk voor dat de voorziening minimaal de afkoopwaarde bedraagt van een polis. Dit heeft als gevolg dat de garanties op het niveau van individuele polissen moeten kunnen worden bepaald.

Om beide voorbeelden door te rekenen is slechts een beperkte hoeveelheid informatie per verzekerde noodzakelijk zoals de geboortedatum, het geslacht, de bruto premie, het dekkingstype (gemengd, leven, etc). In het unit linked voorbeeld zijn daarnaast per verzekerde nog de huidige fondswaarde en het gegarandeerde kapitaal nodig. Voor de waardebepaling van de traditionele posten zijn verder de batepremie en het verzekerd kapitaal op het waarderingsmoment (incl. eerdere winstdeling) nodig.

Verder wordt voor de berekening van de waarde vn de garantie ook nog verondersteld, dat een kansstelsel voor afkoop en sterfte, de kosten (eerste, vaste, doorlopende, etc.), de rentetermijnstructuur, de rendementsafslag en de rekenrente en de implied volatilities van swaptions en aandelen bekend zijn.

Unit-linked met eindwaarde garantie
We kunnen de minimum eindwaarde garantie bij het unit-linked product beschouwen als een complexe put-optie. Voor de waarde van een Europese put-optie is de welbekende Black-Scholes formule afgeleid:

Hierbij zijn St de waarde van het onderliggende aandeel op tijdstip t, K de gegarandeerde (eind)waarde of de strike prijs, r de risicovrije interest en σ2 de implied volatility van het onderliggende aandeel. Deze expliciete formule (closed form) volgt uit de veronderstelling dat de waardeontwikkeling van het aandeel beschreven kan worden als het verwachte rendement op het aandeel (μ) plus een toevalscomponent (σ). Dit wordt een stochastische differentiaalvergelijking (SDV) genoemd.

De SDV is als volgt te beschrijven:

Onder een aantal simplificerende voorwaarden is het namelijk mogelijk de SDV om te schrijven in een partiële differentiaalvergelijking (PDV) en deze vervolgens op te lossen met de Black en Scholes formule als resultaat. In het geval van een unit-linked product zijn er echter meer kasstromen die de waarde van het onderliggende fonds en dus de waarde van de putoptie bepalen. In het voorbeeld dat we hier bespreken zijn dat een premie-inleg (p{i}) en onttrekkingen met betrekking tot vaste eenmalige kosten, kosten afhankelijk van de fondswaarde (cF), risicopremies voor een overlijdenskapitaal en mogelijke overlijdensuitkeringen (Dt).

Als verondersteld wordt dat zowel de eerste als tweede orde sterftekansen continu zijn, evenals de kaststromen, dan is de SDV als volgt te herschrijven:

We zijn in staat om ook in dit geval de SDV in een PDV om te schrijven. Een expliciete oplossing of een formule zoals bij Black & Scholes is echter niet meer af te leiden. Omdat de PDV wel numeriek oplosbaar is, betekent dit dat de waarde van de garantie door middel van een computer algoritme te benaderen is.

Traditioneel-product met winstdeling op basis van u-rendement
Het tweede voorbeeld betreft een traditionele verzekering waarbij de winstdeling gekoppeld is aan het u-rendement. We kunnen het verwachte u-rendement benaderen via de zevenjaars-implied forwards rentes die we berekenen uit huidige rentetermijnstructuur.

Uit deze implied winstdelingspercentages en de statutaire voorziening (R) wordt conform de meest gangbare winstdelingsvormen een winstdelingsbedrag bepaald, dat aangewend wordt om het verzekerde kapitaal te verhogen. Dit leidt dan weer tot een hogere statutaire voorziening die de basis vormt voor het winstdelingsbedrag in het volgende jaar. De deterministische (intrinsieke) waarde van de verplichting is dan gelijk aan de contante waarde van deze kasstromen op basis van de rentetermijnstructuur.

Daarnaast heeft de garantie ook nog een tijdswaarde die we op de volgende wijze berekenen. Voor ieder jaar j in de toekomst kunnen we de garantie beschouwen als een floorlet, waarbij de floor-rente gelijk is aan de gegarandeerde rekenrente en de verwachte opbrengst gelijk is aan het benaderde u-rendement (ru) in jaar j (het impliciete winstdelingspercentage dus). De hier genoemde rentes zijn op continue basis beschouwd.

Als de relevante rente-volatiliteiten (σ) bekend zijn (d.w.z. zijn afgeleid uit marktprijzen), kunnen we met behulp van een standaard swaption formule (vergelijkbaar met de Black en Scholes formule voor aandelen) voor ieder jaar j de tijdswaarde van de garantie bepalen. De totale tijdswaarde is dan gelijk aan de contante waarde van deze tijdswaarden op basis van de rentetermijnstructuur.

Simulatie
Met behulp van VIPitech zijn een unit linked en een traditionele portefeuilles gesimuleerd waarbij dezelfde uitgangspunten zijn gehanteerd als hierboven. Hierbij is gebruik gemaakt van (risiconeutrale) marktconsistente economische scenario’s die gegenereerd zijn met Barrie en Hibbert (een van de meest gebruikte software pakketten voor dit soort doeleinden). Het projectiemodel berekent voor iedere polis de verwachte toekomstige kasstromen onder de verschillende scenario’s, die contant gemaakt worden met de scenario afhankelijke disconteringsvoeten. De marktwaarde is dan gelijk aan de gemiddelde contante waarde over alle scenario’s. Het door ons gebruikte model is een discreet model op jaarbasis. Hierbij zijn benaderingen gebruikt om de continuïteit van de closed form oplossingen zo goed mogelijk te benaderen maar is bijvoorbeeld de sterftekans op hele leeftijden gebruikt.

Conclusies
In zowel het voorbeeld met winstdeling op basis van u-rendement als in het voorbeeld met het Unit-Linked product bleek de waarde van de garantie, berekend met behulp van simulatie, minder dan 1% af te wijken van de waarde die was berekend met behulp van de analytische/numerieke closed form. Er zit een grote winst in de enorme tijdbesparing die de alternatieve methodes ten opzichte van simulaties opleveren.

Samengevat geven simulatietechnieken in eerste instantie dus meer flexibiliteit en precisie dan de closed form technieken met als bijbehorend nadeel lange doorlooptijden. Om dat laatste handzaam te maken moet er vervolgens weer aan flexibiliteit en precisie worden ingeleverd.

Bij simulatie zal veelal gewerkt gaan worden met modelpunten in plaats van een post-voor-post aanpak en een lager aantal scenario’s dan idealiter gebruikt zou worden om de waarde van de verplichtingen in te schatten. Dit introduceert een fout in de simulatie die mogelijk niet kleiner is dan de afwijking die optreedt bij het gebruik van closed form oplossingen.

De uiteindelijke keuze van rekenaanpak zal zeer sterk afhangen van het product dat gemodelleerd wordt en de reden achter een berekening. Een combinatie van simulatietechnieken en closed form oplossingen is ook zeer goed denkbaar om bijvoorbeeld economisch kapitaal en EEV movement analyses op te stellen zonder te verzanden in “simulatie in simulatie”-problemen en/of extreme doorlooptijden.

Naast de twee hierboven uitgewerkte voorbeelden is het mogelijk gebleken om voor een hele range van producten dergelijk analytische/numerieke closed forms te ontwikkelen. Hiermee kan invulling gegeven worden aan een belangrijk deel van de eisen die door de Wtf worden gesteld: marktwaarde bepaling en de minimum afkoopwaarde.

<< lees vorige artikel

lees volgende artikel >>

Contact

Drs. Aid Usman +31 20 5433004

I&FS Bulletin archief  Bekijk hier voorgaande uitgaven van het I&FS Bulletin.